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電車の中で頭の体操

おはようございます。プライバシーマークとISMSのコンサルタントを担当している山田です。
朝、電車の中でFacebookを見ていたら↓の問題が話題になっていました。
1995kyoto
 
設問2を見てください。何と自分の点数を自分で決められる問題です。さすが京大。
面白そうなので電車の中で解いてみました。
 
まず設問1のf(n^7)=f(n)の証明は何とかなりそう。
n≡k(mod 7)としてk=0~6で地道に計算すれば証明できます。合同式を使えばそれほど計算も大変ではありません。
 
そして設問2です。g(1)を試しに計算してみます。
g(1)=3f(1+2+3+4+5+6+7)=3f(7(7+1)/2))=0
これを選んだら零点。
次に私の好きなラッキーセブンを代入してみます。設問1からg(7)=g(1)なので、g(7)でも零点!
※補足
設問1からf(1^7)=f(1)、f(2^7)=f(2)・・・、f(6^7)=f(6)、f(7^7)=f(7)
g(7)=3f(f(1^7)+f(2^7)+f(3^7)+f(4^7)+f(5^7)+f(6^7)+f(7^7))
=3f(f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)+f(6)+f(7))
=3f(1+2+3+4+5+6+7)=g(1)=0
 
あとは地道に計算なのですが、n=1~7においては、g(6)以外は全て0になりました。
残るg(6)ですが頑張って計算すると、
1^6=1
2^6=(2^3)^2≡1
3^6=(3^2)^3≡2^3≡1
4^6=(2^3)^4≡1
5^6≡(-2)^6=(2^3)^2≡1
6^6≡(-1)^6=1
7^6≡0 より
g(6)=3f(1+1+1+1+1+1+0)=18。やった!18点獲得!これ以上大きな値にはならないので最高点です。
g(8)以降はどうなるのでしょうか。
k^7≡k (mod 7)の両辺にk^(n-1)を掛けると
k^(n+6)≡k^nですね。g(n)は周期6で循環していくようです。
 
小学生の知識(算数)で解ける大学入試問題。しかも自分で自分の得点を決められる。
いつもプライバシーマークやISMSのことばかり考えているので良い頭の体操になりました。
<追記>
後でネットで調べて分かったのですが、f(n^7)=f(n)はフェルマーの小定理(pが素数の時 n^p≡n(mod p))のp=7の時の式なのですね。数学が苦手な私も漸く思い出しました。

<関連情報>
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